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Archive for the ‘Mathekram’ Category

Für die geschlossene Form der geometrischen Reihe gilt:

Z_n = x^0+x^1+x^2+\ldots +x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}

Als “Standardherleitung” für diese Formel wird anscheinend gern eine seltsame Rechenschieberei mit Partialsummen angegeben (siehe z.B. Wikipedia).

Es entsteht der Eindruck, man könne die geschlossene Form nur durch zufälliges Rumprobieren mit Hilfe von magischen “Rechentricks” finden. Das fördert nicht das tiefere Verständnis und nach einiger Zeit hat man die Herleitung wieder vergessen.

Einsichtiger ist meiner Meinung nach folgendes:

Das Nachfolgeglied Z_{n+1} lässt sich auf zweierlei Art durch den Vorgänger Z_n ausdrücken:

  1. Z_{n+1} = Z_n\cdot x + 1
  2. Z_{n+1}= Z_n+x^{n+1}

Gleichsetzen und nach Z_n auflösen liefert die gewünschte geschlossene Form.

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Gewöhnlich berechnet man das arithmetische Mittel von n Zahlen mittels

\overline{x}=\frac{1}{n} \underset{n}\sum{x_{n}}

Fügt man nun eine weitere Zahl hinzu, lässt sich der neue Durschnitt leicht durch

\overline{x}_{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot (n\cdot \overline{x}_{n}+x_{n+1})

rekursiv berechnen.

Das ist nützlich, wenn man beispielsweise den Temperaturdurchschnitt über mehrere Tage hinweg im Kopf ausrechnen möchte. Man muss sich immer nur den aktuellen Durchschnitt und die Anzahl der darin eingeflossenen Zahlen merken und viel weniger Rechenschritte im Kopf durchführen.

(Mathematisch gesehen ist das ein gewichtetes Mittel und lässt sich bestimmt noch auf andere Mittelwerte bzw. statistische Momente erweitern.)

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