Für die geschlossene Form der geometrischen Reihe gilt:
Als “Standardherleitung” für diese Formel wird anscheinend gern eine seltsame Rechenschieberei mit Partialsummen angegeben (siehe z.B. Wikipedia).
Es entsteht der Eindruck, man könne die geschlossene Form nur durch zufälliges Rumprobieren mit Hilfe von magischen “Rechentricks” finden. Das fördert nicht das tiefere Verständnis und nach einiger Zeit hat man die Herleitung wieder vergessen.
Einsichtiger ist meiner Meinung nach folgendes:
Das Nachfolgeglied lässt sich auf zweierlei Art durch den Vorgänger ausdrücken:
Gleichsetzen und nach auflösen liefert die gewünschte geschlossene Form.